ClearAll[theta, phi]
a[theta_, phi_] = {{Cos[phi]Cos[theta], Sin[phi]Cos[theta], -Sin[theta]},{-Sin[phi] Sin[theta], Cos[phi]Sin[theta], 0}} ;

dtheta[theta_, phi_] := D[a[theta, phi],theta] (*/. {theta -> t, phi -> p}*);
dphi[theta_, phi_] := D[a[theta, phi],phi] (*/. {theta -> t, phi -> p}*);

Grid[{{"(Subscript[A, k]) = ",
(a[(Subscript[θ, k]),(Subscript[ϕ, k])]// MatrixForm // TraditionalForm)},
{"∂(Subscript[A, k])/∂(Subscript[θ, k]) = ",
(dtheta[(Subscript[θ, k]),(Subscript[ϕ, k])]// MatrixForm // TraditionalForm)},
{"∂(Subscript[A, k])/∂(Subscript[ϕ, k]) = ",
(dphi[(Subscript[θ, k]),(Subscript[ϕ, k])]// MatrixForm // TraditionalForm)}
(*{"(Subscript[A, k]) ∂((Subscript[A, r])^T)/∂(Subscript[θ, r]) = "
((a[(Subscript[θ, k]),(Subscript[ϕ, k])]. (dtheta[(Subscript[θ, r]),(Subscript[ϕ, r])] // Transpose)) // Simplify // MatrixForm // TraditionalForm)},
{"(Subscript[A, k]) ∂((Subscript[A, r])^T)/∂(Subscript[ϕ, r]) = ",
((a[(Subscript[θ, k]),(Subscript[ϕ, k])]. (dphi[(Subscript[θ, r]),(Subscript[ϕ, r])] // Transpose)) // Simplify // MatrixForm // TraditionalForm)}*)
(*{"(Subscript[A, k]) ∂((Subscript[A, r])^T)/∂(Subscript[θ, r]) = "
((a[tk,pk]. (dtheta[tr,pr] // Transpose)) // Simplify // MatrixForm // TraditionalForm)},
{"(Subscript[A, k]) ∂((Subscript[A, r])^T)/∂(Subscript[ϕ, r]) = ",
((a[tk,pk]. (dphi[tr,pr] // Transpose)) // Simplify // MatrixForm // TraditionalForm)}*)
} ]

(a[(Subscript[θ, k]),(Subscript[ϕ, k])]. (dtheta[(Subscript[θ, r]),(Subscript[ϕ, r])] // Transpose)) // Simplify // MatrixForm // TraditionalForm
(a[(Subscript[θ, k]),(Subscript[ϕ, k])]. (dphi[(Subscript[θ, r]),(Subscript[ϕ, r])] // Transpose)) // Simplify // MatrixForm // TraditionalForm