bb=Sqrt[Subscript[b,1] Subscript[b,1]+Subscript[b,2] Subscript[b,2]+Subscript[b,3] Subscript[b,3]]
Solve[-(x^3)-x (Subscript[b, 1]^2)-x (Subscript[b, 2]^2)-x (Subscript[b, 3]^2) == 0, x]
q={{0,Subscript[b,3],-Subscript[b,2]},{-Subscript[b,3],0,Subscript[b,1]},{Subscript[b,2],-Subscript[b,1],0}}
m={{-I bb,Subscript[b,3],-Subscript[b,2]},{-Subscript[b,3],-I bb,Subscript[b,1]},{Subscript[b,2],-Subscript[b,1],- I bb}}
n={{I bb,Subscript[b,3],-Subscript[b,2]},{-Subscript[b,3],I bb,Subscript[b,1]},{Subscript[b,2],-Subscript[b,1],I bb}}
h = First[NullSpace[q]]  * (Subscript[b, 3])
f = First[NullSpace[m]] * (I (Subscript[b, 2]) (Subscript[b, 3])+(Subscript[b, 1]) (Sqrt[(Subscript[b, 1]^2)+(Subscript[b, 2]^2)+(Subscript[b, 3]^2)]))
g = First[NullSpace[n]] * (-I (Subscript[b, 2]) (Subscript[b, 3])+(Subscript[b, 1]) (Sqrt[(Subscript[b, 1]^2)+(Subscript[b, 2]^2)+(Subscript[b, 3]^2)]))
FullSimplify[h . f]
FullSimplify[h . g]
FullSimplify[f . Conjugate[g],  {(Subscript[b, 1]), (Subscript[b, 2]) , (Subscript[b, 3  ])} ∈ Reals]
ah = Sqrt[FullSimplify[h . Conjugate[h],  {(Subscript[b, 1]), (Subscript[b, 2]) , (Subscript[b, 3  ])} ∈ Reals]]
af = Sqrt[FullSimplify[f . Conjugate[f],  {(Subscript[b, 1]), (Subscript[b, 2]) , (Subscript[b, 3  ])} ∈ Reals]]
ag = Sqrt[FullSimplify[g . Conjugate[g],  {(Subscript[b, 1]), (Subscript[b, 2]) , (Subscript[b, 3  ])} ∈ Reals]]
uU = Transpose[{  h/ah, f/af, g/ag }]
dD = { {0, 0, 0}, {0, I bb, 0}, {0, 0, -I bb}}
uU // MatrixForm
dD // MatrixForm
uU .dD  // MatrixForm
uConj = ConjugateTranspose[uU]
uConj // MatrixForm



FullSimplify[uU.dD.uConj,  {(Subscript[b, 1]), (Subscript[b, 2]) , (Subscript[b, 3  ])} ∈ Reals && bb > 0 && (Subscript[b, 1]^2)+(Subscript[b, 3 ]^2)> 0] // MatrixForm