Expand out (L^2)= ((Subscript[L, z])^2)+ (1/2)((SubPlus[L])(SubMinus[L])+ (SubMinus[L])(SubPlus[L])), in spherical coordinates and compare to stated result (Sakurai (6.15)).

(*(Subscript[L, ±]) f(θ, ϕ)*)
Lpm[f_, s_] := -I ℏ E^(I s phi) ( I s D[f, theta] - Cot[theta] D[f, phi] ) ;

prettyPrint := {theta -> θ, phi -> ϕ, f -> ψ} ;

(* (((Subscript[L, z])^2)+ (1/2)((SubPlus[L])(SubMinus[L])+ (SubMinus[L])(SubPlus[L])))/(-ℏ^2) *)
((- ℏ^2 D[f[theta, phi], {phi,2}] +(Lpm[ Lpm[f[theta, phi],-1], 1] + Lpm[ Lpm[f[theta, phi],1], -1])/2 )/(- ℏ^2)// Simplify) /. prettyPrint // TraditionalForm

(*equation 6.15/(-ℏ^2)*)
((1/Sin[theta]^2) D[f[theta,phi], {phi,2}] + (1/Sin[theta])D[Sin[theta] D[f[theta, phi], theta], theta] // Simplify) /. prettyPrint // TraditionalForm