Problem 2.

Plot[
{1/( t Sinh[1/t])^2,1},
 {t, 0, 5}, 
PlotRange -> Full,
AxesLabel -> {2 (Subscript[k, B])T/(ℏ ω)},
PlotLegends->Placed[{ "(Subscript[C, (Subscript[V, quantum])])/(N (Subscript[k, B]))", "(Subscript[C, (Subscript[V, classical])])/(N (Subscript[k, B]))"}, Center]
]

Plot[
Coth[1/t],
 {t, 0, 1}, 
PlotRange -> Full,
AxesLabel -> {2 (Subscript[k, B])T/(ℏ ω), 2 U/(N ℏ ω)}
]

Plot[
1/(  t Sinh[1/t])^2,
 {t, 0, 0.5}, 
PlotRange -> Full,
AxesLabel -> {2 (Subscript[k, B])T/(ℏ ω), (Subscript[C, V])/(N (Subscript[k, B]))}
]

FullSimplify[ Cosh[x]^2 + Sinh[x]^2]