Work through the messy algebra for page 151 of the Van Driel notes.

Setup for use of subscript variables:

<<Notation`
Symbolize[ParsedBoxWrapper[SubscriptBox["_","_"]]]

Now solve for the each of the variables, by eliminating the others.  Not the most efficient way to do it, but simple to code:

Clear[(Subscript[g, 1]), (Subscript[z, 1]), (Subscript[z, 0]), (Subscript[g, 2]), (Subscript[z, 2]), e, s, eq1, eq2, eq3, f, g, a, s1, s2, s3]
(* don't appear to be able to use z_0^2 as a variable to solve for? *)
eq1 = {(Subscript[g, 1]) == 1 + l (Subscript[z, 1])/((Subscript[z, 1])^2 + a)} ;
eq2 = {(Subscript[g, 2]) == 1 - l (Subscript[z, 2])/((Subscript[z, 2])^2 + a)} ;
eq3 = {(Subscript[z, 2]) == (Subscript[z, 1]) + l}  ;
f = Flatten[ {eq1, eq2, eq3}] ;
e= Eliminate[f, {a, (Subscript[z, 2])}]  ;
s1 = Solve[e, (Subscript[z, 1])] 
g = Eliminate[f, {a, (Subscript[z, 1])}]  ;
s2 = Solve[g, (Subscript[z, 2])] 
s3 = Solve[ eq1 /. Flatten[{s1, s2}] , a]

Apply the solve rules to create some variables that can be used directly, and then express w(z)^2 at these two points.

(Subscript[z, 1]) = ((Subscript[z, 1 ])/. s1 [[1]]) ;
(Subscript[z, 2]) = ((Subscript[z, 2 ])/. s2 [[1]]) ;
(Subscript[z, 0]) = Sqrt[(a/. s3[[1]]) ] ;
wSq[z_] = (λ  (Subscript[z, 0])/Pi) (1 + (z/(Subscript[z, 0]))^2)
constraints = (Subscript[g, 1])> 0 && (Subscript[g, 1])≤ 1 && (Subscript[g, 2])> 0 && (Subscript[g, 2])≤ 1 && l > 0 ;
FullSimplify[wSq[(Subscript[z, 1])] , constraints] // Factor 
FullSimplify[wSq[(Subscript[z, 2])] , constraints] // Factor

Here’s (Subscript[w, 1])^2 manually rearranged, then simplified, reproducing the result from the notes

(((Sqrt[-(((Subscript[g, 2]) (-1+(Subscript[g, 1]) (Subscript[g, 2])))/((Subscript[g, 1])(1-(Subscript[g, 1]) (Subscript[g, 2]) )^2))]) l λ)/π) // FullSimplify // Factor

Here’s (Subscript[w, 2])^2 manually rearranged, then simplified, reproducing the result from the notes

(((Sqrt[-(((Subscript[g, 1]) (-1+(Subscript[g, 1]) (Subscript[g, 2])))/((Subscript[g, 2])(1-(Subscript[g, 1]) (Subscript[g, 2]))^2))]) l λ)/( π)) // FullSimplify // Factor