For a 2D matrix we have | n I - A | = n^2 - n Tr(A) - |A|.  For 3D we appear to have | n I - A | = n^3 - n^2 Tr(A) - |A| - u, where u = (Subscript[a, 1,1]) (Subscript[a, 2,2]) +(Subscript[a, 2,2]) (Subscript[a, 3,3])+(Subscript[a, 3,3])(Subscript[a, 1,1]) -(Subscript[a, 1,2]) (Subscript[a, 2,1])+-(Subscript[a, 1,3]) (Subscript[a, 3,1])-(Subscript[a, 2,3]) (Subscript[a, 3,2]).  Notice that this last is a sort of symmetric and antisymetric parts quantity.

am = Array[a,{3,3}] /. a[u_, v_] -> (Subscript[a, u ,v])
d = Det[ n IdentityMatrix[3] -  am ] 

Collect[d + Det[am] + n^2 Tr[am] , n]